Поляризация чисел

Математика – это ещё не действительный мир, но область ума, которая изменяет сама себя.

Древнегреческие математики считали «настоящими» только натуральные числа. С позиции многополярности это однополярные числа. Постепенно складывалось представление о бесконечности множества таких чисел.

В древнем Египте и древнем Вавилоне наряду с натуральными числами применяли дроби, то есть числа, составленные из целого числа долей единицы. В практических расчетах дроби применялись за две тысячи лет до н. э.

Долгое время полагали, что результат измерения всегда выражается или в виде натурального числа, или в виде отношения таких чисел, то есть дроби. Древнегреческий философ и математик Пифагор учил, что «Элементы чисел являются элементами всех вещей и весь мир в челом является гармонией и числом».

Однако один из пифагорейцев доказал, что диагональ квадрата несоизмерима со стороной. Отсюда следует, что натуральных чисел и дробей недостаточно, для того чтобы выразить длину диагонали квадрата со стороной равной единице. С этого открытия начинается эра теоретической математики, так как открыть существование несоизмеримых величин с помощью опыта, не прибегая к абстрактному рассуждению, было невозможно.

Очень важным этапом в развитии понятия о числе было введение отрицательных чисел – это было сделано китайскими математиками за два века до н. э. Так началась поляризация чисел и, фактически, зарождение многополярности. Отрицательные числа применяли в III веке древнегреческий математик Диофант, знавший правила действия над ними, а в VII веке эти числа подробно изучили индийские ученые, которые сравнивали такие числа с долгом.

Следует тут отметить, что поляризация есть развитие ума, так как в натуральном мире никаких «отрицательных» объектов не бывает. С помощью отрицательных чисел можно было единым образом описывать изменения умозрительных величин.

В VIII веке было установлено, что квадратный корень из положительного числа имеет два значения – положительное и отрицательное. Тут же стало очевидным, что из отрицательных чисел квадратный корень извлекать нельзя. Однако в XVI веке, в связи с изучением кубических уравнений, оказалось необходимым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел, так как под знаком квадратного корня оказывалось отрицательное число. Получалось, что путь к этим корням ведет через невозможную операцию извлечения квадратного корня из отрицательного числа.

Руффини (Италия) на рубеже XVIII и XIX веков доказал, что уравнение пятой степени нельзя решить алгебраически; точнее: нельзя выразить его корень через величины a, b, c, d, e с помощью шести алгебраических действий: сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень, извлечения корня.

В 1830 году Галуа (Франция) доказал, что никакое общее уравнение, степень которого больше чем 4, нельзя решить алгебраически. Однако лишь на рубеже XVIII и XIX веков упомянутая теорема была доказана Гауссом.

Итальянский алгебраист Дж. Кардано в 1545 г. предложил ввести числа новой природы. Кардано называл такие величины “чисто отрицательными” и даже “софистически отрицательными”, считал их бесполезными и старался их не употреблять. Известно, например, что Ньютон не включал мнимые величины в понятие числа, а Лейбницу принадлежит фраза: «Мнимые числа — это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что амфибия бытия с небытием».

В 1572 году вышла книга итальянского алгебраиста Р. Бомбелли, в которой были установлены первые правила арифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения из них кубических корней. Название “мнимые числа” ввел в1637 году французский математик и философ Р. Декарт, а в 1777 году один из крупнейших математиков XVIII века – Л. Эйлер предложил использовать первую букву французского слова imaginaire для мнимой единицы. Символ мнимой единицы вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу. Термин “комплексные числа” так же был введен Гауссом в 1831 году. Слово комплекс (от латинского complexus) означает связь, сочетание, совокупность понятий, предметов, явлений образующих единое целое.

С позиций многополярности, если были уже «отрицательные» числа, то добавить ещё поляризации, «расщепив» пространство в два раза, не имеет проблем. Но ум исследователей, допустив отрицательную поляризацию, не мог продолжать видоизменяться.

В течение XVII века велось обсуждение арифметической природы «мнимых чисел», возможности дать им геометрическое обоснование.

Постепенно развивалась техника операций над мнимыми числами. На рубеже XVII и XVIII веков была построена общая теория корней разных степеней сначала из отрицательных, а за тем из любых комплексных чисел. Л. Эйлер вывел в 1748 году замечательную формулу, узаконив четырёхполярные числа.

Но ум математиков от этого не изменился и оставался по-прежнему двухполярным. Это прекрасный пример для понятия того, что, вводя отличающиеся от мыслящего двухполярного линейного ума конструкции, сам ум не меняется. "Расщепление" двухполярного ума до четырёхполярного при введении комплексных чисел не произошло.Л. Карно писал: “Никто ведь не сомневается в точности результатов, получаемых при вычислениях с мнимыми количествами, хотя они представляют собой только алгебраические формы иероглифы нелепых количеств”.

В конце XVIII века французский математик Ж. Лагранж смог показать, что математический анализ уже не затрудняют «мнимые» величины. С помощью «мнимых чисел» научились выражать решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Такие уравнения встречаются, например, в теории колебаний материальной точки в сопротивляющейся среде.

В конце XVIII века, в начале XIX века было предолжена геометрическая схема комплексных чисел. Датчанин К. Вессель, француз Ж. Арган и немец К. Гаусс независимо друг от друга предложили изобразить комплексное число точкой на координатной плоскости. Геометрическое истолкование комплексных чисел позволило определить многие понятия, связанные с функцией комплексного переменного, расширило область их применения.

Стало ясно, что комплексные числа полезны во многих вопросах, где имеют дело с величинами, которые изображаются векторами на плоскости: при изучении течения жидкости, задач теории упругости. Ещё полезнее бы был четырёхполярный ум.

После создания теории комплексных чисел, по индукции линейного ума, возник вопрос о существовании «гиперкомплексных» чисел, то есть чисел с несколькими «мнимыми» единицами. Такую систему построил в 1843 году ирландский математик У. Гамильтон, который назвал их «кватернионами». Естественно, что это настолько удалило математическую конструкцию от природы двухполярного ума, что об изменении ума, до постановки его в соответствие сотворённым им же конструкциям, уже не могло быть и речи.